Übungsblatt_8
SS 2010/11
BEISPIEL 23
Gegeben sei die Funktion f(x,y)=(x^2*y)/(x^4+y^2) wenn x^2*y^2>0 sonst 0. Zeichnen sie die Funktion. Zeichnen sie entlang von Linien (x,m*x) die Funktion f(x,y), wobei m immer kleiner gewählt werden soll. Die Funktion f(x,y) ist unstetig in (0,0). Wie zeigt sich das auf dem Funktionsgraphen?
SS 2010/11
BEISPIEL 23
Gegeben sei die Funktion f(x,y)=(x^2*y)/(x^4+y^2) wenn x^2*y^2>0 sonst 0. Zeichnen sie die Funktion. Zeichnen sie entlang von Linien (x,m*x) die Funktion f(x,y), wobei m immer kleiner gewählt werden soll. Die Funktion f(x,y) ist unstetig in (0,0). Wie zeigt sich das auf dem Funktionsgraphen?
var('x y'); plot_size=10; m=0.0; li=[]
def f(x,y): #unstetig bei 0,0
return (x^2*y)/(x^4+y^2) if x^2+y^2>0 else 0
baseplot=density_plot(f,(x,0,plot_size),(y,0,plot_size))
baseplot+=text("1",(-1,plot_size),rgbcolor=(1,0,0))
for m in srange(pi/2,-0.1,-pi/2/10):
def g(x): return plot_size*f(cos(m)*x,sin(m)*x)
li.append(baseplot+line([(0,0),(plot_size*cos(m),plot_size*sin(m))])+plot(g,(x,0,plot_size),color="red"))
show(animate(li,xmin=0,ymin=0,xmax=plot_size,ymax=plot_size))
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BEISPIEL 24
Gegeben sei die Funktion f(x,y)=(x*y*(x^2-y^2))/(x^2+y^2) wenn x^2*y^2>0 sonst 0. Berechnen Sie mit Sage die partiellen Ableitungen d^2f/(dx dy) | (x,y)=(0,0) und d^2f/(dy dx) | (x,y)=(0,0)
var('x y')
f(x)=(x*y*(x^2-y^2))/(x^2+y^2)
view(f.diff(x).diff(y))
view(f.diff(y).diff(x))
print lim(f.diff(x).diff(y),x=0)
print lim(f.diff(y).diff(x),y=0)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{8 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{3}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{2 \, x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{8 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{3}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{2 \, x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} -1 1 \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{8 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{3}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{2 \, x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{8 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{3}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} y^{2}}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{2 \, x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} -1 1 |
BEISPIEL 25
Berechnen Sie eine Pseudoinverse der Matrix A=matrix([[1,2,3],[2,-3,1]]). Ist die Pseudoinverse in diesem Beispiel eindeutig bestimmt? Eine Pseudoinverse einer n × m Matrix A ist eine m × n Matrix B, für die gilt ABA = A, BAB = B, (AB)* = A* B* und (BA)* = B* A*.
#Pseudo-Inverse ist eindeutig in R und C
#ABA = A sichert, dass die Spalten y von A durch B auf Lösungen x des Gleichungssystems y = A x abgebildet werden.
#Und durch BAB = B können keine vom Nullvektor verschiedene Spalten von B im Kern von A liegen.
#http://de.wikipedia.org/wiki/Pseudoinverse
import numpy
M=Matrix([[1,2,3],[2,-3,1]])
matrix(numpy.linalg.pinv(M.numpy()))
[0.0820512820513 0.148717948718] [ 0.128205128205 -0.205128205128] [ 0.220512820513 0.0871794871795] [0.0820512820513 0.148717948718] [ 0.128205128205 -0.205128205128] [ 0.220512820513 0.0871794871795] |