Sovellus: Kuution puolipallon sisällä

264 days ago by Lauri_Ruotsalainen

Sovellus: Kuutio puolipallon sisällä

Lauri Ruotsalainen, 2010

Kevään 2010 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävässä 4 oli seuraava konstruktio: puolipallon sisälle on asetettu kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Tehtävässä kysytään, kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta. Tarkastellaan ongelmaa numeerisesti Sagessa. Menetelmää voidaan käyttää esimerkiksi analyyttisesti lasketun arvon tarkistamiseen tai vastauksen suuruusluokan arvioimiseen kolmiulotteisten kappaleiden ominaisuuksia koskevassa ongelmassa.

Tehtävässä pyydetyn suhteen määrittäminen tapahtuu silmämääräisesti säätämällä kuution kokoa, esimerkiksi haarukoimalla, kunnes pohjatasoa vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet koskettavat pallopintaa. Vinkki: Tarkastelu helpottuu, kun kuva zoomataan lähemmäksi puolipallon pintaa. Tämän voi tehdä joko hiiren rullaa vierittämällä tai oikealla hiirenpainikkeella avautuvasta valikosta.

Kuva:


 
x, y, z = var("x, y, z") @interact def _(koko = slider(0.5, 1, label="Kuution sivun pituus x:")): # Piirretään ja esitetään sovelluksen graafiset objektit puolipallo, kuutio ja taso puolipallo = implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 == 1, (x,-1,1), (y,-1,1), (z,0,1), color="green", opacity=0.4) kuutio = cube((0, 0, koko/2), size=koko, opacity=0.9, color="red", frame_thickness=1) taso = plot3d(0, (x, -1.2, 1.2), (y, -1.2, 1.2), color="lightblue", opacity=0.6) show(puolipallo + kuutio + taso, aspect_ratio=1) # Lasketaan kuution ja puolipallon tilavuudet V_k = koko^3 V_p = 4*pi*1^3/6 # Esitetään tehtävään liittyvät tunnusluvut html("$\\text{Kuution tilavuus: }V_{kuutio}=x^3=%s^3=%s"%(N(koko,digits=5), N(V_k, digits=5))) html("$\\text{Puolipallon tilavuus: }V_{puolipallo}=\\frac{4\pi r^3}{3}:2=\\frac{4\pi 1^3}{3}:2=%s$"%N(V_p, digits=5)) html("$\\text{Suhde: }V_{kuutio}/V_{puolipallo}=%s/%s=%s$"%(N(V_k, digits=5),N(V_p, digits=5),N(V_k/V_p, digits=5))) 
       

Click to the left again to hide and once more to show the dynamic interactive window