%hide
%latex
$x'(t)=x(t) $\newline
$\frac{dx(t)}{dt}=x(t) $\newline
$t+c_1=\int\frac{dx(t)}{x(t)} $\newline
$x(t):=y$ $\newline
$t+c_1$=\int\frac{dy}{y}=log(y)+c_2=log(x(t))+c_2 $\newline
$=> x(t)=e^{c_1-c_2+t} $ \newline
mit $c:=e^{c_1-c_2}$: \newline
$x(t)=c*e^t$ \newline
Soll $x(0)=1$ gelten folgt aus $e^0=1$ dass $c=1$ sein muss.
|
var('c t')
#Definitionen
c=1 #siehe oben
f(t)=c*e^t #unser Lösungsschema
h=10^(-1) #Schrittgröße
t(m)=0+m*h #bei t=0 starten
#Euler-Verfahren:
f_h=lambda m: f_h(m-1)+f(t(m-1))*h if m>0 else 1
#Runge-Kutta-verfahren:
k1(m)=f(t(m))
k2(m)=f(t(m)+h/2)
k3(m)=k2(m)
k4(m)=f(t(m+1))
r_h=lambda m: r_h(m-1)+h/6*(k1(m-1)+2*k2(m-1)+2*k3(m-1)+k4(m-1)) if m>0 else 1
#lasset uns plotten
start=0; to=2
plot(lambda x: f_h(x/h),(x,start,to),color="blue")+plot(f,(x,start,to),color="red")+plot(lambda x: r_h(x/h),(x,start,to),color="green")
|
|
Sieg für Runge und Kutta. Euler fliegt schon zuvor aus der Kurve, ich hoffe er nimmts gelassen.
|
|